¿Por qué las órbitas son, siempre, secciones cónicas?

Círculos, elipses, parábolas o hiperbolas. Ni una más.

¿Porque las leyes y constantes de este universo tienen una Obsesión con lo redondo? (Como dijiste, las órbitas, el equilibrio hidrostático de los planetas, etc...).
Bueno, ya enserio xD, me has despertado la curiosidad.

Es una pregunta con respuesta curiosa.. porque casi que es al revés!. Sabias porqué al FOCO de la elipse se lo llama "Foco"?. Gracias al amigo Kepler!. Kepler descubrió que "La órbita de Marte es una elipse, y que en uno de sus CENTROS, estaba el Sol".... y como el Sol es un FOCO, se empezó a llamar "Foco" al centro de la elipse.
Y retrocediendo con la historia... lo de las secciones de conos, lo estudiaron profundamente los matemáticos griegos (siempre en busca de cosas para entretenerse... pero que no tuviesen mucha utilidad práctica, no sea que tuviesen que agarrar un martillo y una pala! jajaja)... y siguió sin variantes, a nadie se le volvió a ocurrir estudiar ese tema, hasta que Kepler descubrio lo de la orbita eliptica de Marte... y siguió estudiando órbitas, y llegó a una conclusión "al estilo de Rafa"... que TODAS las órbitas que él logró medir, se trataban de curvas obtenidas de "Cortes de conos". Y asi renació la matemática de "El estudio de las cónicas", que es como se llama a toda esa familia de curvas. Luego quien pudo venir?. Si! Newton y al calcular la ecuación de la Ley de la Gravitación Universal... resultó ser en su formulación, una ecuación de "la familia de las cónicas".
Asi que:
- Los griegos inventaron el método (sin tener idea de que era una órbita... calcularon como podrian ser!)
- Kepler descubrió como obtener las órbitas a partir de los viejos artilugios sobre soluciones gráficas de los griegos
- Newton verifica la validez de lo obtenido por Kepler, al encontrar que la ecuación de la Gravitación, entra en esa familia de curvas.
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Y si ahora se nos mete la materia oscura, y la expansión acelerada, probablemente haya que agarrar el martillo y abollar un poco el "cono primigenio", para que se siga cumpliendo!!!

Termodinámica: los procesos naturales tienden siempre a desarrollarse en el modo en que ocupan la energía de manera más directa y simple.

Por eso los astros grandes tienden a ser esféricos, pero también lo tienden las partículas subatómicas, que terminan siendo un campo de probabilidades tendiente a la esfericidad.

El movimiento más simple y directo en el Universo sería, teóricamente, un rectilíneo uniforme. Sin embargo dado que (1) los objetos y fenómenos en el Universo no existen aislados así que están forzados a interactuar con su entorno y (b) la geometría misma del Universo no es recta, todo fenómeno en su interior que implique transformación sucede, geométricamente hablando, en una curva.

... Y dado el modo en que opera la termodinámica, esas curvas tienden naturalmente a volverse –en gran escala– transformaciones armónicas: secciones cónicas y, si se presentan junto a un proceso estable de decaimiento o incremento, espirales.

[ Aunque en realidad, a nivel riguroso de medición de la curvatura de una trayectoria orbital, la realidad es que ni la cónica más "perfecta" a gran escala es realmente tan perfecta: ni siquiera los satélites en órbita geoestacionaria, que es para todo fin práctico un "círculo perfecto" siguen realmente una trayectoria 100% libre de imperfecciones topológicas. ]

Resulta que la solución de una ecuación diferencial se segundo orden (lo suficientemente sencilla) suele ser un polinomio cuadrático, pero oh sopresa! los polinomios cuadráticos suelen ser secciones cónicas.

Es decir, las órbitas son cónicas por que la segunda ley de Newton es de segundo orden.

Saludos.

@Enrique:

Bueno, esa es la EXPLICACIÓN MATEMATICA de por qué para describir una órbita lo hacemos (desde Newton) usando polinomios cuadráticos.

... Pero la pregunta de Rafa es al revés; quitemos la parte de "secciones cónicas" para que puedas visualizarla: "¿por qué las órbitas son siempre de esa forma tan particular?"


A riesgo de sonar como ORE, la pregunta tiene que ver con la causa física que hace que las órbitas tengan una forma particular definida, no con una explicación matemática — la explicación matemática ayuda a comprender la mecánica del movimiento, pero al movimiento le importa un sorbete si nosotros podemos o no definirlo con una ecuación, éste igual sucede de un modo muy específico.

¿Estás de acuerdo?

Dame un momento, ahorita te doy el Skype de Johannes Kepler, él te explicará.

Bueno, es que la causa física está contenida es esa respuesta matemática y es que la fuerza es central.
Una órbita triangular o rectangular no puede originarse por una fuerza central.

Saludos!

Enrique, mi pregunta, tal como lo entendió V'yaard, está más dirigida a las cuestiones geométricas que a las matemáticas, aunque ambas estás inextricablemente relacionadas.

Pero, digo, ¿Qué forma tiene un pozo de gravedad?

Según entiendo, argumentas que las órbitas tienen esa forma debido a que el potencial (que tu llamas pozo de gravedad) es aproximadamente un cono.
De ser así, debes tener en cuenta quién determina la forma del potencial y quién lo determina es la fuerza central cuadrática inversa.
Dado que en la electrodinámica clásica se tiene una fuerza con una forma similar, también se pueden tener órbitas cónicas.

Considera a continuación un experimento mental; consigues una canica y la sujetas con un resorte a un "foco" el cual está completamente fijo. A continuación das un ligero impulso a la canica con una velocidad arbitraria. ¿Qué forma van a tener las órbitas?
Quizás sean como curvas de Lissajous o algo de ese estilo, lo que si es seguro es que no serán cónicas. Tú podrías decir que es porque el potencial es diferente, pero el potencial está determinado por la fuerza, que en el caso de un resorte es del tipo lineal (no cuadrático inverso).

Con todo esto trato de hacer notar que lo mas importante es la forma de la fuerza y mientras la fuerzas tengan expresiones similares, las órbitas serán similares independientemente de la situación física!

Saludos.